اوپن اے آئی کا خاکہ c² = 65 کے انتخاب پر مبنی ہے، جسے 1² + 8² = 65 یا 4² + 7² = 65 سے مطمئن کیا جاسکتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ اگر گرڈ کی جگہ 1/√65 ہے، تو ہر پوائنٹ 16 دیگر پوائنٹس سے ایک یونٹ دور ہوگا: (1,8), (7), (4), (4), (7), (4) (-4,7)، وغیرہ۔ c² کے لیے بڑی قدریں—اگر ان کا انتخاب احتیاط سے کیا گیا ہے—زیادہ مکمل عدد اخترن اور اس وجہ سے زیادہ یونٹ فاصلاتی جوڑے کو فعال کرتے ہیں۔
تاہم، اگر گرڈ میں پوائنٹس کی تعداد کے مقابلے c² بہت بڑا ہے، تو بہت سے ممکنہ ون یونٹ دور پڑوسی گرڈ سے باہر ہوں گے۔
مختصراً، ہم ایک c² کا انتخاب کرنا چاہتے ہیں جو کافی بڑا ہو لیکن زیادہ بڑا نہ ہو۔ نمبر تھیوری سے بصیرت کا استعمال، بشمول جیکوبی کا دو مربع نظریہErdős یہ دکھانے کے قابل تھا کہ ایک بہترین سائز کا دائرہ یونٹ فاصلاتی جوڑوں کی تعداد کو پوائنٹس کی تعداد سے زیادہ تیزی سے بڑھنے کے قابل بنائے گا، لیکن صرف بمشکل۔
سوال بن گیا “کیا آپ بہتر کر سکتے ہیں؟” اوپری باؤنڈ کو تلاش کرنے کے لیے، Erdős نے ریاضی کے بالکل مختلف شعبے سے ایک دلیل کا استعمال کیا جسے گراف تھیوری کہا جاتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ آپ کے پاس صرف اتنی ہی اکائیوں کی دوری ہو سکتی ہے۔ لیکن اس کا اوپری باؤنڈ بہت تیزی سے بڑھتا ہے، اس سے زیادہ تیزی سے جو وہ تعمیر کرنے کے قابل تھا۔
ایرڈس کا قیاس یہ تھا کہ اصل زیادہ سے زیادہ اوپری کی نسبت نچلی حد کے زیادہ قریب تھا۔ اس نے پیشن گوئی کی، لیکن یہ ثابت نہیں کر سکا، کہ یونٹ فاصلاتی جوڑوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد پوائنٹس کی تعداد سے بمشکل تیزی سے بڑھتی ہے۔
زیادہ درست ہونے کے لیے، Erdős نے اندازہ لگایا کہ یونٹ فاصلوں کی تعداد n^(1+o(1)) ہوگی۔ دوسرے لفظوں میں، کافی بڑے n کے لیے، یونٹ کے فاصلوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد کسی بھی 𝜖 > 0 کے لیے n^(1+𝜖) سے کم ہوگی۔ جو کہ اس کی نچلے حصے کی تعمیر سے تھوڑی تیزی سے بڑھ سکتی ہے—جو کہ کچھ مستقل C کے لیے n^(1 + C/(log log n)) تھی—لیکن ایک ہی جنرل پارک کے اندر۔
